PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
KOMBINASI
1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :
Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =
Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah
2). Tentukan nilai dari:
a) 12C4
b) 10C3
Jawaban
a) 12C4
12! 12! 12 . 11 . 10 . 9 . 8! 12.11.10.9
12C4 = _________________ = ________ = ______________________ = ___________________ = 495
(12 − 4)! 4! 8! 4! 8 ! 4 . 3.2.1 4.3.2.1
b) 10C3
10! 10! 10 . 9 . 8 . 7! 10.9.8
10C3 = _______________ = __________ = _________________ =____________ = 120
(10 − 3)! 3! 7! 3! 7 ! 3! 3.2.1
3). 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!
Jawaban :
Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
8! 8! 8 . 7 . 6 !
8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan
(8 − 2)! 2! 6! 2! 6! 2.1
4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekolah akan memilih 3 orang siswa dari 12 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan banyaknya kombinasi anak yang diperoleh sekolah dari ke 12 anak tersebut!
Jawaban :
Kombinasi 3 dari 12
12! 12 ! 12.11.10. 9 ! 12.11.10
12C3 = ____________ = ___________ = ________________ = _______________ = 220
(12 − 3)! 3! 9! 3! 9 ! 3! 3.2.1
5). 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!
Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 :
6! 6! 6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan
(6 -2)! 2! 4! 2! 4! 2.1
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
KOMBINASI
1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :
Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =
Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah
2). Tentukan nilai dari:
a) 12C4
b) 10C3
Jawaban
a) 12C4
12! 12! 12 . 11 . 10 . 9 . 8! 12.11.10.9
12C4 = _________________ = ________ = ______________________ = ___________________ = 495
(12 − 4)! 4! 8! 4! 8 ! 4 . 3.2.1 4.3.2.1
b) 10C3
10! 10! 10 . 9 . 8 . 7! 10.9.8
10C3 = _______________ = __________ = _________________ =____________ = 120
(10 − 3)! 3! 7! 3! 7 ! 3! 3.2.1
3). 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!
Jawaban :
Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
8! 8! 8 . 7 . 6 !
8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan
(8 − 2)! 2! 6! 2! 6! 2.1
4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekolah akan memilih 3 orang siswa dari 12 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan banyaknya kombinasi anak yang diperoleh sekolah dari ke 12 anak tersebut!
Jawaban :
Kombinasi 3 dari 12
12! 12 ! 12.11.10. 9 ! 12.11.10
12C3 = ____________ = ___________ = ________________ = _______________ = 220
(12 − 3)! 3! 9! 3! 9 ! 3! 3.2.1
5). 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!
Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 :
6! 6! 6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan
(6 -2)! 2! 4! 2! 4! 2.1
5 komentar:
terimakasih :)
sangat bermanfaat :)
makasih gan...sangat membantu saya
Thanks gan
thanks gan... :D
makasih, tp kurang banyak contohnya.... :)
Posting Komentar